Analyse S3 :SERIES NUMERIQUES

Analyse S3 :
pour les etudiants de SMAI 

1 Chapitre I 3

1.1 GE´NE´RALITES

1.1.1 Séries convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 SE´RIES RE´ELLES A TERMES POSITIFS . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Résultat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Régles de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3 Comparaison séries et intégrales : . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 SERIES A TERMES QUELCONQUES . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Crite`res de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 SUITES ET SE´RIES DE FONCTIONS 11

2.1 SUITES DE FONCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Convergence simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Normes sur un espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3 Convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.4 The´ore`mes de passage a` la limite. . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 SE´RIES DE FONCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Continuite´ des se´ries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.2 De´rivation terme a` terme d’une se´rie. . . . . . . . . . . . 14

2.3 CRITE`RES DE CONVERGENCE UNIFORME . . . . . . . . . 15

2.3.1 Crite`re de Cauchy uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.2 Crite`re d’Abel uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 SE´RIES ENTIE`RES 16

3.1 GE´NE´RALITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2 DOMAINE DE CONVERGENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2.1 Existence du rayon de convergence. . . . . . . . . . . . . 17

3.2.2 Calcul du rayon de convergence. . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 PROPRIE´TES DES SE´RIES ENTIE`RES . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.1 Continuite´. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3.2 De´rivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1

3.4 APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4.1 De´veloppement en se´rie entie`re des fonctions usuelles. . . 19

3.4.2 Introduction de nouvelles fonctions. . . . . . . . . . . . . 20

3.4.3 Re´solution de certaines e´quations diffe´rentielles. . . . . . 21

4 SE´RIES DE FOURIER 22

4.1 SE´RIES TRIGONOME´TRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 SE´RIES DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.3 CONVERGENCE UNIFORME DE LA SE´RIE DE FOURIER . 28

Analyse 3ch1ch4 (1)